题目内容

已知 $数学公式$ sinx，cosx）， $数学公式$ =（cosx，-cosx）．
（Ⅰ）当 $数学公式$ 时， $数学公式$ + $数学公式$ = $数学公式$ ，求cos2x；
（Ⅱ）当 $数学公式$ 时，关于x的方程 $数学公式$ + $数学公式$ =m有且只有一个实根，求实数m的取值范围．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ sinxcosx-cos²x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =m有且只有一个实根，令X= $\text{[math]}$ ，在坐标系中画出y=sinX的图象与y=m的图象，图象只有一个交点，
由图可得：m=-1或 $\text{[math]}$

分析：（Ⅰ）通过 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，化简得到表达式， $\text{[math]}$ ，推出 $\text{[math]}$ ，利用cos2x=cos[（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]求解即可；
（Ⅱ）利用x∈ $\text{[math]}$ 时，推出 $\text{[math]}$ ，关于x的方程 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =m有且只有一个实根，就是函数图象只有一个公共点，求实数m的取值范围．
点评：本题是中档题，考查三角函数值的求法，平面向量的数量积的应用，数形结合求出函数的图象的交点与方程的根的关系，考查计算能力．