Question

如图，在四棱锥D′-ABCE中，底面为直角梯形，AB=2BC=2CE=2，且AB⊥BC，AB∥CE，平面D′AE⊥平面ABCE．
（1）求证：AD′⊥EB；
（2）若D′A⊥D′E，D′A=D′E，求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取AB中点H，连接CH，则CH∥AE，由AB=2BC=2CE=2，可得四边形BCEH为正方形，从而可得BE⊥AE，进而可证BE⊥平面D′AE，故AD′⊥EB；
（2）D′在底面上的射影为AE中点G，设AC∩HE=0，过G作AB的垂线，垂足为F，连接D′F，过G作D′F的垂线，垂足为M，则GM等于O到面ABD′的距离，求出GM，AO的长，即可得到直线AC与平面ABD′所成角的正弦值．

解答：（1）证明：∵平面D′AE⊥平面ABCE，
∴AD′在底面ABCE上的射影落在AE上
取AB中点H，连接CH，则CH∥AE
∵AB=2BC=2CE=2，∴四边形BCEH为正方形，
∴BE⊥CH，CH∥AE
∴BE⊥AE
∵平面D′AE⊥平面ABCE，平面D′AE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面D′AE
∴AD′⊥EB；
（2）解：由题意可知，D′在底面上的射影为AE中点G，设AC∩HE=0，则OG∥AB，∴G与O到平面ABD′的距离相等
过G作AB的垂线，垂足为F，连接D′F，过G作D′F的垂线，垂足为M，
则GM等于O到面ABD′的距离
在直角△D′GF中，FG=

1

2

，D′G-

2

2

，AO=

5

2

，∴GM=

6

6

设直线AC与平面ABD′所成角为α，则sinα=

6 6

5 2

=

30

15

∴直线AC与平面ABD′所成角的正弦值为

30

15

．

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，求出点面距离，从而可求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值，