Question

已知成等差数列．又数列a_n（a_n＞0）中a₁=3此数列的前n项的和S_n（n∈N₊）对所有大于1的正整数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列a_n的第n+1项；
（2）若是的等比中项，且T_n为{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）有成等差数列，利用等差数列定义得到f（x）的函数解析式，再利用S_n=f（S_n-1）得到数列a_n的关于前n项和式子，在有前n项和求出数列的第n+1项；
（2）由于是的等比中项，所以可以利用等比中项的定义得到数列b_n的通项公式，在利用裂项相消法可以求{b_n}的前n项和T_n．
解答：解：（1）∵成等差数列，
∴∴∵S_n=f（S_n-1）（n≥2），∴
∴  
∴{}是以为公差的等差数列．
∵a₁=3∴S₁=3，∴，
∴S_n=3n²（n∈N⁺） 
∴a_n+1=S_n+1-S_n=3（n+1）²-3n²=6n+3；
（2）∵数列的等比中项，
∴ 
∴  
=
点评：此题考查了已知数列的前n项和求通项，等差数列的定义及等比中项，还考查了裂项相消法求数列的前n项的和．