Question

在△ABC中．
（1）已知sinA=cosBcosC，求证：tanC+tanB=1；
（2）求证：a²-2ab cos（60°+C）=b²-2bc cos（60°+A）．

Answer 1

分析：（1）根据A=B+C把sinA转换成sin（A+B），进而利用两角和公式化简整理，等式两边同时除以cosBcosC，即可证明原式．
（2）先利用两角和公式对要证的结论化简整理可得a²-abcosC+ab

3

sinC=c²-bccosA+bc

3

sinA 再利用余弦定理分别把cosC，cosA代入整理asinC=csinA，根据正弦定理可知在三角形中此等式恒成立，进而使原式得证．

解答：解：（1）因为在三角形ABC中，sinA=cosBcosC
∴sin（B+C）=cosBcosC
即sinBcosC+cosBsinC=cosBcosC
等式两边同时除以cosBcosC，得

sinB

cosB

+

sinC

cosC

=1
即tanB+tanC=1，原式得证．
（2）证明：要使a²-2ab cos（60°+C）=b²-2bc cos（60°+A）．
需a²-2ab（

1

2

cosC-

1

2

3

sinC）=c²-2bc（

1

2

cosA-

3

2

sinA）
需a²-abcosC+ab

3

sinC=c²-bccosA+bc

3

sinA
需a²-

1

2

（a²+b²-c²）+ab

3

sinC=c²-

1

2

（b²+c²-a²）+bc

3

sinA
需a²-b²+c²+2ab

3

sinC=c²-b²+a²+2bc

3

sinA
需asinC=csinA
在三角形ABC中，根据正弦定理可知

a

sinA

=

c

sinC

即asinC=csinA恒成立，
所以等式得证

点评：本题主要考查了三角函数恒等式的证明，涉及了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系的应用等．考查了学生综合分析问题和演绎推理的能力．