Question

在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB．
（1）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC面积；
（2）求AB边上的中线长的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，sinC+sin（B-A）=2sin2A化简后，根据cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可；
（2）根据CD为AB边上的中线，得到

CD

=

CA + CB

2

，两边平方并利用平面向量的数量积运算法则变形得到关系式，利用余弦定理列出关系式，将cosC与c的值代入得到关系式，代入计算即可确定出|CD|的范围．

解答： 解：（1）由sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB，利用正弦定理化简得：a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，即C=

π

3

，
∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A，
∴sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0，即A=

π

2

，此时S_△ABC=

2 3

3

；
当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此时此时S_△ABC=

2 3

3

；
（2）∵

CD

=

CA + CB

2

，
∴|CD|²=

a2+b2+2abcos π 3

4

=

a2+b2+ab

4

，
∵cosC=

1

2

，c=2，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=4，
∴|CD|²=

a2+b2+ab

4

=

4+2ab

4

＞1，且|CD|²=

4+2ab

4

≤3，
则|CD|的范围为（1，

3

]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．