Question

（05年辽宁卷）（12分）

函数在区间内可导，导函数是减函数，且．设，是曲线在点处的切线方程，并设函数．

         （Ⅰ）用、、表示m；

         （Ⅱ）证明：当，；

（Ⅲ）若关于x的不等式在上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系．

Answer 1

解析：（Ⅰ）                                               ……2分

   （Ⅱ）证明：令

        因为递减，所以递增，因此，当；当.

所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即            ……6分

 

   （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

        对任意成立的充要条件是

       

       另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为

       于是的充要条件是                             ……10分

       综上，不等式对任意成立的充要条件是

                                                  ①

       显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②

       有解、解不等式②得                          ③

       因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.  ……12分

 

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

   对任意成立的充要条件是

                                            ……8分

       令，于是对任意成立的充要条件是

        由

       当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即                ………10分

       综上，不等式对任意成立的充要条件是

                                ①

       显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式

                         ②

       有解、解不等式②得

       因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系. ……12分