Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作不垂直于x轴的直线，交抛物线于M，N两点，线段MN的中垂线交x轴于R，则

|FR|

|MN|

=

 

．

Answer 1

分析：先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用抛物线的定义可得|AB|=x₁+x₂+p，再由y₁²=2px₁，y₂²=2p₂x，相减得可得直线MN的斜率，根据垂直的关系可得线段MN的中垂线的方程为，令y=0，得R的横坐标，从而求出|FR|，最后求比值即可．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据抛物线的定义得：|AB|=x₁+x₂+p，
由y₁²=2px₁，y₂²=2p₂x，相减得，y₁²-y₂²=2px₁-2px₂，
∴k=

y   1 -y2

x1-x2

=

2p

y1-y2

，
则线段MN的中垂线的方程为：y-

y1+y2

2

=-

y1-y2

2p

（x-

x1+x2

2

）．
令y=0，得R的横坐标为p+

x1+x2

2

，又F（

p

2

，0），
∴|FR|=

x1+x2+p

2

，
则

|FR|

|MN|

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的方法，属于中档题．