Question

已知四棱台上，下底面对应边分别是a，b，试求其中截面把此棱台侧面分成的两部分面积之比

S上

S下

=

3a+b

a+3b

．

Answer 1

分析：设A₁B₁C₁D₁是棱台ABCD-A₂B₂C₂D₂的中截面，延长各侧棱交于P点，根据两个棱台的侧高相等，而两部分面积之比，即为棱台上下底面周长和之比，由此分别计算上下两部分的各侧面面积，可得答案．

解答：解：设A₁B₁C₁D₁是棱台ABCD-A₂B₂C₂D₂的中截面，延长各侧棱交于P点．
∵BC=a，B₂C₂=b
∴B1C1=

a+b

2

∴BC∥B₁C₁
∴

S△PBC

S△PB1C1

=

a2

( a+b 2 )2

∴S △PB1C1=

(a+b)2

4a2

•S△PBC
同理S △PB2C2=

b2

c2

•S△PBC
∴

SB1C1CB

SB2C2C1B1

=

(a+b)2 4a2 -1

b2 a2 - (a+b)2 4a2

=

b2+2ab-3a2

3b2-2ab-a2

=

(b+3a)(b-a)

(3b+a)(b-a)

=

b+3a

3b+a

同理：

SABB1A1

SA1B1B2A1

=

SDCC1D1

SD1C1C2D2

=

SADD1A1

SA1D1D2A1

=

b+3a

3b+a

由等比定理，得

S上

S下

=

3a+b

a+3b

故答案为：

3a+b

a+3b

点评：本题考查的知识点是棱台的几何特征，棱台的侧面积，其中熟练掌握棱台的几何特征是解答的关键．