题目内容
已知椭圆
的中心在坐标原点O，左顶点
，离心率
，
为右焦点，过焦点的直线交椭圆于
、
两点（不同于点
）．
(1)求椭圆的方程；
(2)当
的面积
时，求直线PQ的方程；
(3)求
的范围．
（1）
；（2）
或
；（3）（2,6）
【解析】
试题分析：（1）设出椭圆的标准方程根据题意可a，利用离心率求得c，则b可求得，椭圆的方程可得．
（2）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，设出P，Q的坐标，进而根据韦达定理表示出
和
，则利用弦长公式可表示出|PQ|，进而可表示出
的面积方程可得．
（3）利用向量的坐标运算，建立函数关系式，利用椭圆的范围找到定义域，利用二次函数即可求范围.
试题解析：（1）设椭圆方程为
(a>b>0) ，由已知 
∴
2分
∴ 椭圆方程为． 4分
（2）解法一: 椭圆右焦点
． 设直线
方程为
（
∈R）． 5分
由
得
．① 6分
显然，方程①的
．设
，则有
． 8分
由的面积
=
=
解得：
．
∴直线PQ 方程为
，即或． 10分
解法二： 
． 6分
点A到直线PQ的距离
8分
由的面积=
解得．
∴直线PQ 方程为，即或． 10分
解法三： 椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，
，不合题意． 5分
当直线的斜率存在时，设直线方程为
，
由
得
． ① 6分
显然，方程①的．
设，则
． 7分
=
． 8分
点A到直线PQ的距离
9分
由
的面积
=
解得
．
∴直线
的方程为
，即或． 10分
（3）设P的坐标（
则
∴
故
12分
∵
∴
的范围为（2,6） 14分
（注：以上解答题其他解法相应给分）
考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的位置关系；（3）向量的坐标运算；（4）弦长公式.
