题目内容

$数学公式$ ，其中y=x+1，则a₂=________．

1330
分析：把所给的式子两侧对x求导，在把得到的式子再次对x求导可得 2-6x+12x²+…+20×19x¹⁸=2a₂+6a₃y+…+20×19y¹⁸．令x=-1，则y=0，上式变为 2+6+12+20+…+19×20=2a₂，
即 a₂= $\text{[math]}$ ，再将此式变形，求得结果．
解答：∵ $\text{[math]}$ ，y=x+1，
两侧对x求导，可得-1+2x-3x²+4x³+…+20x¹⁹=a₁+2a₂y+3a₃y²+…+20a₂₀y¹⁹．
两侧再对x求导，可得 2-6x+12x²+…+20×19x¹⁸=2a₂+6a₃y+…+20×19y¹⁸．
令x=-1，则y=0，上式变为 2+6+12+20+…+19×20=2a₂，
即 a₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =1330，
故答案为 1330．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，常用的方法是赋值法，式子的变形是解题的关键和难点，属于中档题．