Question

1-x+x2-x3+…-x19+x20=a0+a1y+…+a20y20，其中y=x+1，则a₂=

1330

．

Answer 1

分析：把所给的式子两侧对x求导，在把得到的式子再次对x求导可得 2-6x+12x²+…+20×19x¹⁸=2a₂+6a₃y+…+20×19y¹⁸．令x=-1，则y=0，上式变为 2+6+12+20+…+19×20=2a₂，
 即 a₂=

1×2+2×3+3×4+…+19×20

2

，再将此式变形，求得结果．

解答：解：∵1-x+x2-x3+…-x19+x20=a0+a1y+…+a20y20，y=x+1，
两侧对x求导，可得-1+2x-3x²+4x³+…+20x¹⁹=a₁+2a₂y+3a₃y²+…+20a₂₀y¹⁹．
两侧再对x求导，可得 2-6x+12x²+…+20×19x¹⁸=2a₂+6a₃y+…+20×19y¹⁸．
令x=-1，则y=0，上式变为 2+6+12+20+…+19×20=2a₂，
即 a₂=

1×2+2×3+3×4+…+19×20

2

=

0×1×2+1×2×3

3

+

-1×2×3+2×3×4

3

+

-2×3×4+3×4×5

3

+…+

-18×19×20+19×20×21

3

 
=

0×1×2+19×20×21

3

=1330，
故答案为 1330．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，常用的方法是赋值法，式子的变形是解题的关键和难点，属于中档题．