Question

已知a₁=3，a_n-a_na_n+1=1（n∈N₊），A_n表示数列{a_n}的前n项之积，则A₂₀₁₀=

1

．

Answer 1

分析：利用a₁=3，a_n-a_na_n+1=1（n∈N₊），得到3-3a₂=1，a2=

2

3

；

2

3

-

2

3

a3=1，a3=-

1

2

；-

1

2

+

1

2

a4=1，a₄=3；…，所以数列{a_n}是周期为3的数列，且a₁•a₂•a₃=3×

2

3

×(-

1

2

) =-1，由此能够求出A₂₀₁₀．

解答：解：∵a₁=3，a_n-a_na_n+1=1（n∈N₊），
∴3-3a₂=1，
∴a2=

2

3

，

2

3

-

2

3

a3=1，
∴a3=-

1

2

，
-

1

2

+

1

2

a4=1，
a₄=3，
∴数列{a_n}是周期为3的数列，
且a₁•a₂•a₃=3×

2

3

×(-

1

2

) =-1，
∵2010=670×3，
∴A₂₀₁₀=（a₁•a₂•a₃）⁶⁷⁰=（-1）⁶⁷⁰=1．
故答案为：1．

点评：本题考查数列的递推式的应用，解题时要先利用递推公式求出前4项，仔细观察得到的前四项能够发现数列{a_n}是周期为3的数列，且a₁•a₂•a₃=3×

2

3

×(-

1

2

) =-1，这是正确解题的关键步骤．解题时要注意培养善于观察、善于发现的能力．