Question

【题目】已知, .

（1）求函数的增区间；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围，并说明理由；

（3）设正实数， 满足，当时，求证：对任意的两个正实数， 总有.

(参考求导公式： )

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：(1)求导，对进行分类讨论，可得函数的增区间；

（2）由（1）知：若函数在的上为增函数，函数有至多有一个零点，不合题意.

若 可知

要使得函数有两个零点，则

以下证明函数有两个零点即可

（3）证明：不妨设，以为变量

令，

则

可以证明 ，所以在单调递增；因为所以

这样就证明了

试题解析：(1)由已知，令，

当时， ，函数的增区间

若 令，

函数的增区间为

综合以上：当时，函数的增区间；若增区间为

（2）由（1）知：若函数在的上为增函数，函数有至多有一个零点，不合题意。

若 当， ，函数在的上为减函数

当 ，函数在的上为增函数

要使得函数有两个零点，则

下证明： 函数有两个零点

而，所以在存在惟一零点；

又

令 所以在上递增，

所以的 所以在也存在惟一零点；

综上： 函数有两个零点

方法2：(先证： 有)

而

，所以在也存在惟一零点；

综上： ，函数有两个零点。

（3）证明：不妨设，以为变量

令，

则

令，则

因为，所以；即在定义域内递增。

又因为且所以即，所以；又因为，所以

所以在单调递增；因为所以

即