Question

【题目】已知多面体如图所示，底面为矩形，其中平面， ，若分别是的中心，其中.

（1）证明： ；

（2）若二面角的余弦值为，求的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) SD=2

【解析】试题分析： 利用题意证得平面，然后利用线面垂直的性质和直线平行的结论可得

建立空间直接坐标系，由平面向量的法向量和二面角的余弦值可求的长

解析：（1）取的中点，连接， ，

因为是正方形，所以 ， ；

因为分别是, 的中点，所以 , ；

又因为 且，所以 ， ，

所以四边形是平行四边形, 所以 .

因为 平面，

又故，故；

（2）如图，以D为原点，射线DA，DC，DS分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系；设，则．

因为⊥底面，所以平面的一个法向量为.

设平面SRB的一个法向量为，

， ，则 即

令x=1，得，所以，

由已知，二面角的余弦值为，

所以得 ，解得a =2，所以SD=2．