题目内容

证明对于任意实数x、y有x4+y4≥xy(x+y)2.

解析:因为所证的不等式次数较高,不易证,可用分析法.

证明:要证x4+y4≥xy(x+y)2,

只需证2(x4+y4)≥x3y+2x2y2+xy3,

只需证

∵x4+y4≥2x2y2成立,

只需证x4+y4≥x3y+xy3成立.

只需证x4+y4-x3y-xy3≥0,

即x3(x-y)-y3(x-y)≥0,

即(x3-y3)(x-y)≥0.

∵x-y与x3-y3同号,

∴(x-y)(x3-y3)≥0.

∴x4+y4≥x3y+xy3.

∴x4+y4≥xy(x+y)2成立.

练习册系列答案
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已知f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于任意实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）试判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）试解不等式f（x）+f（x-2）＜3．
证明：对于任意实数x，y都有x4+y4≥
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xy(x+y)2．
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，且对于任意实数x，y，总有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并证明函数f（x）为偶函数；
（II）定义数列{an}：an=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求{an}的通项公式；
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证明对于任意实数x、y有x4＋y4≥xy(x＋y)2．

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