Question

证明：对于任意实数x，y都有x⁴+y⁴≥

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xy(x+y)2．

Answer 1

分析：本题可用分析法来解答，分析法：证明使x⁴+y⁴≥

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xy(x+y)2成立的充分条件成立，

解答：证明：要证x⁴+y⁴≥

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xy(x+y)2，只需证明2（x⁴+y⁴）≥xy（x+y）²，
即证2（x⁴+y⁴）≥x³y+xy³+2x²y²，---------------------------（4分）
只需x⁴+y⁴≥x³y+xy³与x⁴+y⁴≥2x²y²同时成立即可，
又知x⁴+y⁴-2x²y²=（x²-y²）²≥0，即x⁴+y⁴≥2x²y²成立，
只需再有x⁴+y⁴≥x³y+xy³成立即可，--------------------（8分）
由于x⁴+y⁴-x³y-xy³=（x-y）（x³-y³）
∵x-y与x³-y³同号，∴（x-y）（x³-y³）≥0，即x⁴+y⁴≥x³y+xy³成立，
∴对于任意实数x，y都有x⁴+y⁴≥

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xy(x+y)2成立--------------（12分）

点评：本小题主要考查不等式的证明等基础知识，考查运算变形能力，考查化归与转化思想．属于基础题．