Question

11．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y≤11}\\{y≤x+2}\\{x-5y≤3}\end{array}\right.$，目标函数z=3x+5y．
（1）使z取得最小值的最优解是否存在？若存在，请求出；
（2）请你改动约束条件中的一个不等式，使目标函数只有最大值而无最小值．

Answer 1

分析 （1）由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案；
（2）把不等式组中的第三个不等式改为x-5y≥3，画出可行域，由可行域看出目标函数只有最大值而无最小值．

解答 解：（1）由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y≤11}\\{y≤x+2}\\{x-5y≤3}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{x-5y=3}\end{array}\right.$，解得：A（$-\frac{13}{4}，-\frac{5}{4}$），
化目标函数z=3x+5y为$y=-\frac{3}{5}x+\frac{z}{5}$，
由图可知，当直线$y=-\frac{3}{5}x+\frac{z}{5}$过A（$-\frac{13}{4}，-\frac{5}{4}$）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为：
$3×（-\frac{13}{4}）+5×（-\frac{5}{4}）=-16$．
∴使z取得最小值的最优解存在，为A（$-\frac{13}{4}，-\frac{5}{4}$），最小值为-16；
（2）当约束条件改为$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y≤11}\\{y≤x+2}\\{x-5y≥3}\end{array}\right.$时，可行域如图，

此时目标函数z=3x+5y只有最大值而无最小值．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．