Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{6}$=1的离心率互为倒数，且过点（-2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连接AP，AQ并延长分别交直线x=$\frac{16}{3}$于M，N两点．试问直线MR，NR的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，由离心率公式，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1过点（-2，3），和椭圆a，b，c的关系，即可求得a，b，c，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线PQ的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及三点共线求得R，S的纵坐标，再由直线的斜率公式，即可计算直线RT与直线ST的斜率之积为一定值．

解答 解：（1）$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{6}$=1的离心率为2，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$=$\frac{c}{a}$，
∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1过点（-2，3），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1$，
∴a=4，b=2$\sqrt{3}$，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$（5分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），若直线PQ与纵轴垂直，
则M，N中有一点与A重合，与题意不符，
故可设直线PQ：x=my+3．（6分）
将其与椭圆方程联立，消去x得：（3m²+4）y²+18my-21=0（7分）
y₁+y₂=-$\frac{18m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{21}{3{m}^{2}+4}$（8分）
由A，P，M三点共线可知，y_M=$\frac{28}{3}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+4}$，（9分）
同理可得y_N=$\frac{28}{3}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+4}$（10分）
∴k_MR•k_NR=$\frac{{y}_{M}}{\frac{16}{3}-3}$•$\frac{{y}_{N}}{\frac{16}{3}-3}$=$\frac{16{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+4）（{x}_{2}+4）}$（11分）
而（x₁+4）（x₂+4）=（my₁+7）（my₂+7）=m²y₁y₂+7m（y₁+y₂）+49（12分）
所以k_MR•k_NR=$\frac{16×\frac{-21}{3{m}^{2}+4}}{{m}^{2}•\frac{-21}{3{m}^{2}+4}+7m•\frac{-18m}{3{m}^{2}+4}+49}$=-$\frac{12}{7}$．
故直线MR、NR的斜率之积为定值-$\frac{12}{7}$．（14分）

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率的运用，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式的运用，具有一定的运算量，属于中档题和易错题．