题目内容
14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1（常数m、n∈R，且m＞n＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且M、N为短轴的两个端点，且四边形F1MF2N是面积为4的正方形．（1）求椭圆的方程；
（2）过原点且斜率分别为k和-k（k≥2）的两条直线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），求四边形ABCD的面积S的最大值．
分析 （1）由四边形F1MF2N是面积为4的正方形，c=b=$\sqrt{2}$，由此能得到所求椭圆方程．
（2）设A（x，y）．求出A的坐标．根据题设直线图象与椭圆的对称性，知S=4×$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$×$\frac{2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{16k}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{16}{\frac{1}{k}+2k}$（k≥2）．由此能求出四边形ABCD的面积S的最大值．
解答 解：（1）依题意：四边形F1MF2N是面积为4的正方形，
∴c=b=$\sqrt{2}$，
∴a=2
∴所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．（3分）
（Ⅱ）设A（x，y）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$得A（$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$）．（6分）
根据题设直线图象与椭圆的对称性，知（8分）
S=4×$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$×$\frac{2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{16k}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{16}{\frac{1}{k}+2k}$（k≥2）．（9分）
设M（k）=2k+$\frac{1}{k}$，则当k≥2时，M′（k）=2-$\frac{1}{{k}^{2}}$＞0
∴M（k）在k∈[2，+∞）时单调递增，∴M（k）≥$\frac{9}{2}$，（11分）
∴当k≥2时，Smax=$\frac{32}{9}$．（12分）
点评 本题考查椭圆的方程的求法和四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E．| A． | 45° | B． | 30° | C． | 90° | D． | 60° |