题目内容

已知 $数学公式$ ，则方程组 $数学公式$ 的解是：________．

$\text{[math]}$
分析：分别利用诱导公式及余弦函数的奇偶性化简方程组，表示出cosα，根据同角三角函数间的基本关系sin²α+cos²α=1，将sinα和cosα代入，并利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于sinβ的方程，求出方程的解得到sinβ的值，进而得到sinα的值，由α和β的范围，利用特殊角的三角函数值，即可求出α和β的度数．
解答：把方程组化简得： $\text{[math]}$ ，
由①得：cosα= $\text{[math]}$ ③，
将②和③代入sin²α+cos²α=1得：（ $\text{[math]}$ sinβ）²+（ $\text{[math]}$ ）²=1，
整理得：2sin²β+ $\text{[math]}$ =1，即2sin²β+ $\text{[math]}$ （1-sin²β）=1，
解得：sinβ= $\text{[math]}$ 或sinβ=- $\text{[math]}$ （舍去），
∴sinα= $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）．
则 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：此题考查了三角函数的恒等变换，涉及的知识有：诱导公式，同角三角函数间的基本关系，余弦函数的奇偶性，以及特殊角的三角函数值，学生做题时注意角度的范围．