Question

已知和，点T（x，y）满足，O为直角坐标原点，
（1）求点T的轨迹方程Γ；
（2）过点（0，1）且以为方向向量的一条直线与轨迹方程Γ相交于点P，Q两点，OP，OQ所在的直线的斜率分别是k_OP、k_OQ，求k_OP•k_OQ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知点T的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，其中 a=2，c=，b==2，由此能够推导出点T的轨迹方程．
（2）先求出直线L的方程，与椭圆方程联立求出x₁x₂以及代入k_OP•k_OQ即可得到结论．
解答：解：（1）∵＞|F₁F₂|=2，
∴点T的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，
其中 a=2，c=，b==2，
故点T的轨迹方程为（6分）
（2）直线L的斜率（7分）
设直线L的方程：（8分）
联立消去y得：所以x₁x₂=-1，（10分）
同法消去x得：2y²-2y-1=0，所以（12分）
∴K_OP•K_OQ==．（16分）
点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出现不必要的错误．