Question

（2011•奉贤区二模）（理）已知F1(-

2

，0)和F2(

2

，0)，点T（x，y）满足|

TF1

|+|

TF2

|=4，O为直角坐标原点，
（1）求点T的轨迹方程Γ；
（2）任意一条不过原点的直线L与轨迹方程Γ相交于点P，Q两点，三条直线OP，OQ，PQ的斜率分别是k_OP、k_OQ、k_PQ，
k_PQ²=k_OP•k_OQ，求k_PQ．

Answer 1

分析：（1）由于点T（x，y）满足|

TF1

|+|

TF2

|=4＞|

F1F2

|，故轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，从而可求轨迹方程；
（2）将执行方程与椭圆方程联立，利用斜率公式，结合韦达定理即可证明．

解答：解：（1）由题意，点T的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，且a=2，c=

2

从而所求轨迹方程为

x2

4

+

y2

2

=1（6分）
（2）设直线L的方程：y=kx+t（t≠0）（7分）

y=kx+t x2 4 + y2 2 =1

消去y得：（1+2k²）x²+4ktx+2t²-4=0，（9分）x1x2=

2t2-4

1+2k2

（10分）
消去x得：（1+2k²）y²-2yt+t²-4k²=0，y1y2=

t2-4k2

1+2k2

（12分）
∴kOP•kOQ=

y1

x1

•

y2

x2

=

y1y2

x1x2

=

t2-4k2

2t2-4

=k2，（14分）∴k2=

1

2

∴k=±

2

2

（16分）

点评：本题的考点是椭圆的标准方程，主要考查椭圆的定义，考查直线与曲线的位置关系，考查斜率公式，由较强的综合性．