题目内容

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：
①f（10）=1，
②对任意实数b，f（x^b）=bf（x）．
（1）求f（1），f（ $数学公式$ ），f（ $数学公式$ ），及满足f（k-1002）=lg1002的k值；
（2）证明对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）证明f（x）是（0，+∞）上的增函数．

解：（1）∵对任意实数b，f（x^b）=bf（x），f（10）=1，
∴f（1）=f（10⁰）=0×1=0，
f（ $\text{[math]}$ ）=f（10^lg $\text{[math]}$ ）=lg $\text{[math]}$ ×1=lg $\text{[math]}$
f（ $\text{[math]}$ ）=f[（ $\text{[math]}$ ）²]=2f（ $\text{[math]}$ ）=2lg $\text{[math]}$ ．
因为f（k-1002）=f（10^{lg（k-1002）}）=lg（k-1002）=lg1002
∴k=2004．
（2）设x，y∈（0，+∞），
当x≠1时，
f（xy）=f（x• $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$
=（1+log_xy）f（x）
=f（x）+log_xy•f（x）
=f（x）+f（ $\text{[math]}$ ）
=f（x）+f（y）．
当x=1时，因为f（1）=0也适合，
故对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）因为x＞1时，
f（x）=f（10^lgx）=lgx•f（x）=lgx＞0，
设0＜x₁＜x₂，则 $\text{[math]}$ ＞1，所以f（ $\text{[math]}$ ）＞0．
由（2）知f（x₂）=f（ $\text{[math]}$ •x₁）=f（ $\text{[math]}$ ）+f（x₁）＞f（x₁），
所以f（x）是（0，+∞）上的增函数
分析：（1）由已知中对任意实数b，f（x^b）=bf（x），f（10）=1，由1=10⁰， $\text{[math]}$ =10^lg $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）²，可求相应函数值，进而由k-1002=10^{lg（k-1002）}，代入构造关于k的方程，可求出k值．
（2）设x，y∈（0，+∞），由f（xy）=f（x• $\text{[math]}$ ）代入公式可证得f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）因为x＞1时，f（x）=f（10^lgx）=lgx•f（x）=lgx＞0，设0＜x₁＜x₂，f（x₂）=f（ $\text{[math]}$ •x₁）结合（2）中结论及函数单调性的定义，可得答案．
点评：本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，抽象函数单调性的证明，难度较大，属于中档题．