Question

【题目】对于函数.

（1）当向下和向左各平移一个单位，得到函数，求函数的零点；

（2）对于常数，讨论函数的单调性；

（3）当，若对于函数满足恒成立，求实数取值范围.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）当，单调递增；当，在上递增，上递减，上递增；当，在递增，递减，递增；（3）.

【解析】

（1）将，求得，利用图象变换原则求得，分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；

（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；

（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果.

（1）因为，所以，

根据题意，可得，

令，即，

当时，原式化为，

解得或，

当时，原式化为，无解，

所以函数的零点为或；

（2），

当时，， ，

当时，， ，

所以当时，恒成立，在上单调递增，

当时，令，解得或，

所以在和上单调递增，

令，解得，所以所以在上单调递减。，

当时，令，解得或，

所以在和上递增，

令，解得，所以所以在上单调递减，

综上，当时，在上单调递增；

当，在上递增，上递减，上递增；

当时，在递增，递减，递增；

（3）时，，

即为，

整理得，

化简得

当时，原式可化为，显然不成立，

当时，

分类讨论，可求得和时都恒成立，

对于，要使式子成立，

即在时成立，

只要，

结合的条件，解得，

当时，上式对于时就不成立，所以不满足条件，

综上，所求实数的取值范围是.