题目内容
如图，在直线y=0和y=a（a＞0）之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸（x轴）是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往．家住A（0，a）的某学生在位于公路上B（d，0）（d＞0）处的学校就读．每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B（d，0）处的学校．已知船速为υ（υ＞0），车速为2υ（水流速度忽略不计）．（Ⅰ）若d=2a，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；
（Ⅱ）若
，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间．
【答案】分析：（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P（x，0）（0≤x≤d），再乘公交车去学校，所用的时间为t，则
，求导函数，从而确定极值点，由此可求得函数的最值，从而得结论；
（II）由（I）的讨论可知，当d=
上的减函数，所以当
时，即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短，故可得结论．
解答：解：（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P（x，0）（0≤x≤d），再乘公交车去学校，所用的时间为t，则
．…（3分）
令
．…（5分）
且当
，…（6分）
当
，…（7分）
当
时，所用的时间最短，最短时间为：
．…（9分）
答：当d=2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是
．
（II）由（I）的讨论可知，当d=
上的减函数，所以当
时，
即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短．…（12分）
最短的时间为
…（14分）
答：当
时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查利用导数解决函数的最值，解题的关键是函数模型的构建．
，求导函数，从而确定极值点，由此可求得函数的最值，从而得结论；（II）由（I）的讨论可知，当d=
上的减函数，所以当
时，即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短，故可得结论．解答：解：（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P（x，0）（0≤x≤d），再乘公交车去学校，所用的时间为t，则
．…（3分）令
．…（5分）且当
，…（6分）当
，…（7分）当
时，所用的时间最短，最短时间为：
．…（9分）答：当d=2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是
．（II）由（I）的讨论可知，当d=
上的减函数，所以当
时，即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短．…（12分）
最短的时间为
…（14分）答：当
时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查利用导数解决函数的最值，解题的关键是函数模型的构建．
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，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间．