Question

如图，在直线y=0和y=a（a＞0）之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸（x轴）是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往．家住A（0，a）的某学生在位于公路上B（d，0）（d＞0）处的学校就读．每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B（d，0）处的学校．已知船速为υ₀（υ₀＞0），车速为2υ₀（水流速度忽略不计）．
（Ⅰ）若d=2a，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；
（Ⅱ）若d=

a

2

，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间．

Answer 1

分析：（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P（x，0）（0≤x≤d），再乘公交车去学校，所用的时间为t，则t=f(x)=

a2+x2

υ0

+

d-x

2υ0

(0≤x≤d)，求导函数，从而确定极值点，由此可求得函数的最值，从而得结论；
（II）由（I）的讨论可知，当d=

a

2

时，t=f(x)为(0，

a

2

]上的减函数，所以当x=

a

2

时，即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短，故可得结论．

解答：解：（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P（x，0）（0≤x≤d），再乘公交车去学校，所用的时间为t，则t=f(x)=

a2+x2

υ0

+

d-x

2υ0

(0≤x≤d)．…（3分）
令f′(x)=0，得x=

3

3

a．…（5分）
且当0≤x＜

3

3

a时，f′(x)＜0，…（6分）
当

3

3

a＜x≤d时，f′(x)＞0，…（7分）
当x=

3

3

a时，所用的时间最短，最短时间为：t=

a2+( 3 3 a)2

υ0

+

d- 3 3 a

2υ0

=(1+

3

2

)

a

υ0

．…（9分）
答：当d=2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是(1+

3

2

)

a

υ0

．
（II）由（I）的讨论可知，当d=

a

2

时，t=f(x)为(0，

a

2

]上的减函数，所以当x=

a

2

时，
即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短．…（12分）
最短的时间为t=

a2+( a 2 )2

υ0

=

5 a

2υ0

…（14分）
答：当d=

a

2

时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是

5 a

2υ0

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查利用导数解决函数的最值，解题的关键是函数模型的构建．