Question

【题目】已知函数的最小值为0，其中，设．

（1）求的值；

（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围；

（3）讨论方程在上根的个数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）由图像知时有一个根，时无根．

【解析】

试题分析：（1）首先求出函数的定义域，并求出其导函数，然后令求出极值点，并判断导函数的符号进而得出函数取得极值，进而得出其最小值，即可得出结果；（2）首先将问题转化为对恒成立，于是构造函数，再利用导数判断其单调性，最后得出实数的取值范围；（3）首先将问题转化为，然后转化为，最后利用导数和函数的图像即可得出所求的结果

试题解析：（1）的定义域为．

由，解得x＝1－a＞－a．

当x变化时，，的变化情况如下表：

x	（－a,1－a）	1－a	（1－a，＋∞）
	－	0	＋
		极小值

因此，在处取得最小值，故由题意，所以．

（2）由知对恒成立

即是上的减函数．

对恒成立，对恒成立

，

（3）由题意知，

由图像知时有一个根，时无根

或解： ，，又可求得时．在时 单调递增．时， ，时有一个根，时无根．