题目内容
【题目】如图（1），等腰梯形
，
，
，
，
、
分别是
的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线
、
折起，使得点
和点
重合，记为点
，如图（2）.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）根据平几知识得
，
，再根据线面垂直判定定理得
面
，最后根据面面垂直判定定理得结论;（Ⅱ）根据条件建立空间直角坐标系，设点坐标，利用方程组以及向量数量积求各平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
（Ⅰ）
，
是
的两个三等分点，
易知，
是正方形，故
又，且
所以面
又
面
所以面
（Ⅱ）过
作
于
，过作
的平行线交
于
，则
面
又
所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系
则
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
则
∴
设平面
的法向量为
则
∴
所以平面
与平面所成锐二面角的余弦值
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