Question

【题目】设函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，讨论函数与图象的交点个数.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数的单调增区间是，无单调减区间；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（2）1个.

【解析】

（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；

（2）问题转化为求函数的零点个数问题，通过求导，得到函数的单调区间，求出的极小值，从而求出函数的零点个数即和的交点个数.

（1）函数的定义域为，，

当时，，所以函数的单调增区间是，无单调减区间；

当时，；

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.

综上，当时，函数的单调增区间是，无单调减区间；

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.

（2）令 ，，问题等价于求函数的零点个数，

当时，，，有唯一零点；

当时，，

当时，，函数为减函数，注意到，，所以有唯一零点；

当时，由得或，由得，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，注意到，

，

所以有唯一零点；

当时，由得，或，

由得，

所以函数在和单调递减，在单调递增，又，

所以，

而，所以有唯一零点.

综上，函数有唯一零点，即当时函数与图象总有一个交点.