Question

7．给定平面内三个向量$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1）
（1）若（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），求实数k的值；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）⊥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），求实数k的值；
（3）设$\overrightarrow{d}$=（x，y），满足（$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），且|$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$|=1，求$\overrightarrow{d}$的坐标；
（4）求|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|的最小值及相应的t的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理即可得出；
（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出；
（3）利用向量共线定理与模的计算公式即可得出；
（4）利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$=（3-k，2+2k），2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=（-5，2），
∵（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），∴2（3-k）+5（2+2k）=0，解得k=-2
∴实数k=-2；
（2）∵（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）⊥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），
∴-5（3-k）+2（2+2k）=0，
解得k=$\frac{11}{9}$．
∴实数k=$\frac{11}{9}$；
（3）设$\overrightarrow{d}$=（x，y），$\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}$=（x-4，y-1），
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（2，4），
∵（$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），且|$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$|=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4（x-4）-2（y-1）=0}\\{\sqrt{（x-4）^{2}+（y-1）^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{y=1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{y=1-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{x=4-\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{d}$=$（4+\frac{\sqrt{5}}{5}，1+\frac{2\sqrt{5}}{5}）$或$（4-\frac{\sqrt{5}}{5}，1-\frac{2\sqrt{5}}{5}）$；
（4）$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$=（3-t，2+2t）．
|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（3-t）^{2}+（2+2t）^{2}}$=$\sqrt{5（t+\frac{1}{5}）^{2}+\frac{64}{5}}$$≥\frac{8\sqrt{5}}{5}$．当t=-$\frac{1}{5}$时取等号．
∴当t=-$\frac{1}{5}$时，|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|取得最小值$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．