Question

设函数。
（1）如果，求函数的单调递减区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）证明：当时，

Answer 1

（1）函数的单调减区间为.（2）.（3）分析法

试题分析：首先求导数，
讨论得到当时，，确定函数的单调减区间为.
（2）注意讨论①当时，情况特殊；②当时，令，求驻点，讨论时，得函数的增区间为；
根据函数在区间上单调递增，得到，得出所求范围..
（3）利用分析法，转化成证明；
构造函数，
应用导数知识求解
试题解析：（1）函数的定义域为，

当时，
时，，所以，函数的单调减区间为.
（2）①当时，，所以，函数的单调增区间为；
②当时，令，得，
当时，得，函数的增区间为；
又因为，函数在区间上单调递增，
所以，，得，综上知，.
（3）要证：只需证
只需证
设，                                     
则             11分
由（1）知：即当时，在单调递减，
即时，有，         12分
∴，所以，即是上的减函数，   13分
即当，∴，故原不等式成立。         14分