Question

设函数，其中a为正实数．
(l)若x=0是函数的极值点，讨论函数的单调性；
(2)若在上无最小值，且在上是单调增函数，求a的取值范
围；并由此判断曲线与曲线在交点个数．

Answer 1

(1)增区间为，减区间为；(2)；0.

试题分析：(1)先求出，根据已知“是函数的极值点”，得到，解得，将其代入，求得，结合函数的定义域，利用导数求函数的单调区间；(2)先研究函数在区间没有极小值的情况：，当时，在区间上先减后增，有最小值；当时，在区间上是单调递增的，没有最小值.再研究函数在区间上是单调增函数：在上恒成立，解得.综合两种情况得到的取值范围.根据可知，利用导数研究函数的单调性，得到在区间上的最小值是，与的取值范围矛盾，所以两曲线在区间上没有交点.
试题解析：(1) 由得，                     2分
的定义域为：，                                      3分
 ，函数的增区间为，减区间为.      5分
（2），   
若则在上有最小值，
当时，在单调递增无最小值.              7分
∵在上是单调增函数∴在上恒成立，
∴.                                       9分
综上所述的取值范围为.                     10分
此时，
即,
则 h(x)在 单减，单增，               13分
极小值为. 故两曲线没有公共点.                  14分