Question

如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.
（1）求证：∥平面；（2）求证：；
（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1)祥见解析；（2）祥见解析；（3）存在满足条件的.

解析试题分析：（1）O是AD₁的中点，连接OE，由中位线定理可得EO∥BD₁，再由线面平行的判定定理可得BD₁∥平面A₁DE；
（2）由正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，根据面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ADD₁A₁，进而线面垂直的性质定理得到AB⊥A₁D，结合A₁D⊥AD₁及线面垂直的判定定理，可得A₁D⊥平面AD₁E，进而D₁E⊥A₁D；
（3）以点D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设M（1，a，0）（0≤a≤2），分别求出平面D₁MC的法向量和平面MCD的一个法向量，根据二面角D₁-MC-D的大小为，结合向量夹角公式，构造关于a的方程，解方程可得M点的坐标，进而求出AM长．
试题解析：（1)连结交于，连结,因为四边形为正方形，所以为的中点，又点为的中点，在中，有中位线定理有//，而平面，平面，
所以，//平面.
（2）因为正方形与矩形所在平面互相垂直，所以，，
而，所以平面，又平面，所以.
（3）存在满足条件的.
依题意，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，，，，，所，
易知为平面的法向量，设，所以平面的法向量为，所以，即，所以，取，
则，又二面角的大小为，
所以，解得.
故在线段上是存在点