Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A₁A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC₁与平面ABA₁夹角的正弦值．

Answer 1

(1)；(2)

解析试题分析：因为直线AB、AC、两两垂直，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
（1）向量分别为直线A₁B与C₁D的方向向量，求出的坐标，由空间两向量夹角公式可得向量夹角的余弦值；
（2）设平面的法向量为，
又，根据法向量定义求出平面的一个法向量，因为平面，取平面的一个法向量为，先求出与夹角的余弦值，又平面ADC₁与平面ABA₁夹角与与夹角相等或互补。

试题解析：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，，
，
异面直线与所成角的余弦值为。
（2）设平面的法向量为，
，
，即且，
令，则，是平面的一个法向量，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角的大小为，由，
得，故平面与平面夹角的正弦值为。
考点：（1）空间向量的坐标运算；（2）直线方向向量、平面法向量的求法；（3）利用空间向量求线面角、面面角；