Question

8．某售报亭每天以每份0.5元的价格从报社购进某日报，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩余报纸以每份0.1元的价格退回报社．售报亭记录近100天的日需求量，绘出频率分布直方图如图所示．若售报亭一天进货数为400份，以X（单位：份，150≤X≤550）表示该报纸的日需求量，Y（单位：元）表示该报纸的日利润．

（Ⅰ）将Y表示为X的函数；
（Ⅱ）在直方图的日需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，日需求量落入该区间的频率作为日需求量取该区间中点值的概率，求利润Y的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，分别求出当150≤X＜400时和400≤X≤550时的函数解析式，由此能将Y表示为X的函数．
（Ⅱ）依题意，日需求量X可能取值为200，300，400，500，分别求出对应的Y和相应的概率P，由此能求出利润Y的分布列和E（Y）．

解答 解：（Ⅰ）由题意：当150≤X＜400时，…（1分）
Y=0.5x-0.4（400-X）=0.9X-160，…（3分）
当400≤X≤550时，…（4分）
Y=0.5×400=200，…（5分）
∴Y=$\left\{\begin{array}{l}{0.9X-160，150≤X＜400}\\{200，400≤X≤550}\end{array}\right.$．…（6分）
（Ⅱ）依题意，日需求量X可能取值为200，300，400，500，…（7分）
对应的Y分别为：20，110，200，200，…（8分）
对应的概率P分别为：0.20，0.35，0.30，0.15．…（9分）
故利润Y的分布列为：

Y	20	110	200
P	0.20	0.35	0.45

…（10分）
∴E（Y）=20×0.2+110×0.35+200×0.45=132.5（元）．…（12分）

点评 本题考查函数解析式、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．