Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上.不过原点的直线与椭圆交于两点，且（为坐标原点）.

（1）求椭圆的方程；

（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】分析：（Ⅰ）根据题意，列出方程组求得的值，即可求解椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线的斜率存在且不为时，设方程为，代入椭圆的方程，求得和，进而转化得到的表达式，进而得到定值.

详解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率，又，

∴，∴.

又点在椭圆上，∴，

即，∴，则，

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率存在且不为0时，

设其方程为，

∵分别为椭圆上的两点，且，

即，∴直线的方程为.

设，

把代入椭圆：，

得，∴，

同理，∴，

∴

当直线中的一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，

此时.

综上所述，为定值.