Question

如图3－1．已知、分别是正方体的棱和棱的中点．
（Ⅰ）试判断四边形的形状；
（Ⅱ）求证：平面平面．

Answer 1

（Ⅰ）菱形（Ⅱ）证明见解析

（Ⅰ）如图3－2，取的中点，连结、．
∵、分别是和的中点，
∴，
在正方体中，有
，　∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
又、分别是、的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
故．
∴四边形是平行四边形．
又≌，
∴，
故四边形为菱形．
（Ⅱ）连结、、．       ∵四边形为菱形，
∴．
在正方体中，有
，

∴平面．
又平面，
∴．
又，
∴平面．
又平面，
故平面平面