Question

【题目】在直角坐标系中，，不在轴上的动点满足于点为的中点。

(1)求点的轨迹的方程；

(2)设曲线与轴正半轴的交点为，斜率为的直线交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值0

【解析】

（1）解法一：设点的坐标为，可得出点，由，转化为，利用斜率公式计算并化简得出曲线的方程，并标出的范围；

解法二：设点，得出，由知点在圆上，再将点的坐标代入圆的方程并化简，可得出曲线的方程，并标出的范围；

（2）先求出点的坐标，并设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理， 利用斜率公式并代入韦达定理计算出来证明结论成立。

（1）解法一：设点，因为轴，为的中点，则，

，所以，，即，化简得，

所以，的方程为；

解法二：依题意可知点的轨迹方程为，

设点，因为轴，为的中点，所以，，

所以，即，

所以，的方程为；

（2）依题意可知，设直线的方程为，

、，

由，得，

所以，，，

所以

，

所以，为定值。