Question

（本小题满分16分）已知函数(为常数)是实数集上的奇函数,函数是区间上的减函数。
（1）求在上的最大值；
（2）若对及恒成立,求的取值范围；
（3）讨论关于的方程的根的个数。

Answer 1

（1）（2）
（3）①当时，方程无解.
②当时，方程有一个根.
③当时，方程有两个根.

试题分析：（1）是奇函数，
则恒成立.
  
又在[－1，1]上单调递减，                ……5分

（2）在上恒成立,

令则
.                        ……10分
（3）由（1）知
令，
，
当上为增函数；
上为减函数，
当时，
而，
、在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当时，方程无解.
②当时，方程有一个根.
③当时，方程有两个根.                             ……16分
点评：导数是研究函数的单调性、极值、最值的有力工具，经常考查，而且函数的其它性质如奇偶性、周期性、对称性等也经常综合考查，要综合运用所学知识解决问题，思维要严密，分类讨论时要尽量做到不重不漏.