Question

如图：在三棱锥中，是直角三角形，

，，点、分别为、的中点．

   （Ⅰ）求证：；

   （Ⅱ）求直线与平面所成的角的大小；

   （Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer 1

解法一:（Ⅰ） 连结BD．在中，.

       ∵，点为AC的中点，∴．

       又∵即BD为PD在平面ABC内的射影，

       ∴．

       ∵分别为的中点,∴,

       ∴．

   （Ⅱ）∵∴．

       连结交于点，∵，,∴，

       ∴为直线与平面所成的角，.

       ∵∴，，又∵，

       ∴.∵，∴，

       ∴在Rt△中，，∴．

   （Ⅲ）过点作于点F，连结，∵

       ∴即BM为EM在平面PBC内的射影，

       ∴∴为二面角的平面角．

       ∵中，,∴．

       解法二：建立空间直角坐标系B―xyz，如图，

       则，，，，.

   （Ⅰ）∵，，

       ∴ ∴.

   （Ⅱ）由已知可得，为平面的法向量，

       ,

∴ ，

       ∴直线与面所成角的正弦值为.

       ∴直线与面所成的角为.

   （Ⅲ）设平面PEF的一个法向量为a，∵，

       ∴令，∴ a

       由已知可得，向量为平面PBF的一个法向量，

       ∴  a ，∴ a .

       ∴二面角的正切值为.