Question

（本小题满分12分）

如图：在三棱锥中，是直角三角形，，，点、分别为、的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer 1

解析:

解法一:（Ⅰ） 连结BD．在中，.

∵，点为AC的中点，∴．

又∵即BD为PD在平面ABC内的射影，∴．

∵分别为的中点,∴,∴．   ( 3分)

（Ⅱ）∵∴．

连结交于点，∵，,∴，

∴为直线与平面所成的角，.          (4分)

          

.∵∴，，又∵，

∴.∵，∴，

∴在Rt△中，，∴．    (8分)

（Ⅲ）过点作于点F，连结，∵

∴即BM为EM在平面PBC内的射影，

∴∴为二面角的平面角．             (9分)

∵中，,∴．       (12分)

解法二：建立空间直角坐标系B−xyz,如图，

则，，，，.     (2分)

（Ⅰ）∵，，

∴ ,∴.       (4分)

（Ⅱ）由已知可得，为平面的法向量，,

∴ ，

∴直线与面所成角的正弦值为.

∴直线与面所成的角为.        (8分)

（Ⅲ）设平面PEF的一个法向量为a，∵，

∴ a，a，令，∴ a

由已知可得，向量为平面PBF的一个法向量，

∴  a ，∴ a .

∴二面角的正切值为.             (12分)