Question

19．已知a为实数，f（x）=（x²-4）（x-a），
（1）若a=2，求导数f′（x）
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=（x²-4）（x-a）=x³-ax²-4x+4a，能求出导数f′（x）；
（2）由f'（-1）=3+2a-4=0，得a=$\frac{1}{2}$．由f′（x）=3x²-x-4=0，得x₁=-1，x₂=$\frac{4}{3}$，然后分别求出f（-2），f（-1），f（$\frac{4}{3}$）和f（2），由此能得到f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²-4）（x-a）
=x³-ax²-4x+4a，
∴f′（x）=3x²-2ax-4．
a=2，f′（x））=3x²-4x-4．
（2）∵f'（-1）=3+2a-4=0，
∴a=$\frac{1}{2}$．
f（x）=（x²-4）（x-$\frac{1}{2}$）
∴由f′（x）=3x²-x-4=0，
得x₁=-1，x₂=$\frac{4}{3}$，
∵f（-2）=0，f（-1）=$\frac{9}{2}$，f（$\frac{4}{3}$）=-$\frac{50}{27}$，f（2）=0．
∴f（x）在[-2，2]上的最大值为$\frac{9}{2}$，最小值为-$\frac{50}{27}$．

点评 本题考查了导数的求解，利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．