Question

一条直角走廊宽 1.5米，如图所示，现有一转动灵活的手推车，其平板面为矩形ABCD，宽AD为1米，延长AB交直角走廊于A₁、B₁，设∠CDE₁=θ，
（1）证明：A₁B₁=1.5（

1

sinθ

+

1

cosθ

）．
（2）求A₁B₁的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中直角走廊宽为1.5m，转动灵活的平板手推车，宽为1m，我们设AB所在直线与走廊外轮廓线交于点A₁、B₁，根据A₁B ₁=A₁O+OB₁，可证；
（2）利用导数法，判断出函数的单调性，及最值，即可得到答案．

解答：解：（1）由题意A₁B ₁=A₁O+OB₁，
∵一条直角走廊宽 1.5米，∠CDE₁=θ，
∴A′B′=

1.5

sinθ

+

1.5

cosθ

，
（2）求导函数得A1B1 /=1.5×

sin3θ-cos3θ

sin2θcos2θ

令导数为0，可得tanθ=1，∴θ=

π

4

又函数在（0，

π

4

）上单调减，在（

π

4

，

π

2

）上单调增
∴θ=

π

4

时幂函数取极小值，且为最小值
此时A₁B₁的最小值为3

2

点评：本题的考查的知识点是利用导研究函数的单调性，函数模型的选择，利用导数求闭区间上的函数的最值，其中将实际问题转化为利用导数法求函数最值问题，是解答本题的关键．