Question

（理科）一条直角走廊宽 1.5米，如图所示，现有一转动灵活的手推车，其平板面为矩形ABCD，宽AD为1米，延长AB交直角走廊于A₁、B₁，设∠CDE₁=θ，
（1）证明：CD=

3(sinθ+cosθ)-2

2sinθcosθ

．
（2）要想顺利推过直角走廊，平板车的长度不能超过多少米？

Answer 1

分析：（1）由已知中直角走廊宽为1.5m，转动灵活的平板手推车，宽为1m，我们设AB所在直线与走廊外轮廓线交于点A₁、B₁，
∠CDE₁=θ，由此我们可以构造出车长（CD）与θ的函数关系式，
（2）利用导数法，判断出函数的单调性，及最值，即可得到答案．

解答：证明：（1）设AB所在直线与走廊外轮廓线交于点A₁、B₁，∠CDE₁=θ，，则∠B₁A₁E=θ．
∵CD=AB=A₁B₁-AA₁-BB₁，A₁B₁=A₁E+EB₁，
而 A′B′=

1.5

sinθ

+

1.5

cosθ

，AA₁=cotθ，BB₁=tanθ，
∴CD=1.5(

1

sinθ

+

1

cosθ

)-cotθ-tanθ=

3(sinθ+cosθ)-2

2sinθcosθ

．
（2）令sinθ+cosθ=t，则 CD=

3t-2

t2-1

．
又∵θ∈(θ，

π

2

]，∴t=

2

sin(θ+

π

4

)∈(1，

2

]．
令 f(t)=

3t-2

t2-1

，∵f′(t)=-

3t2-4t+3

(t2-1)2

＜0，
∴f（t）在 (1，

2

]上是减函数．
∴当 t=

2

，即 θ=

π

4

时，f（t）有最小值 3

2

-2，
从而CD的最小值是 3

2

-2．
故平板车的长度不能超过（ 3

2

-2）米．

点评：本题的考查的知识点是利用导研究函数的单调性，函数模型的选择，利用导数求闭区间上的函数的最值，其中根据已知条件构造出车长（CD）与θ的函数关系式，将实际问题转化为利用导数法求函数最值问题，是解答本题的关键．