Question

已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点．

（1）证明：面面；
（2）求与所成的角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值．

Answer 1

（1）见解析   (2) ;（3）．

试题分析：以为坐标原点,长为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，从而由已知可得各点坐标．
(1)注意到四棱锥的底面为直角梯形，，,所以,应用空间向量的数量积可证,从而有DCPA,由于与是平面内的两条相交直线，由此得面．又在面内，故面⊥面; (2)写出向量的空间坐标,然后利用公式:可求出所求两直线所成角的余弦值; （3）先求分别出二面角的两个面: 平面ACB和平面MAC的一个法向量,从而就可求出二面角的余弦值,进而就可求出其正弦值．
试题解析：
以为坐标原点,长为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，则各点坐标为．

（1）证明：因
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面．又在面内，故面⊥面 
（2）解：因故，所以
所以，AC与PC所成角的余弦值为 
（3）解：易知平面ACB的一个法向量
设平面MAC的一个法向量则，不妨取 
设二面角的平面角为则，
则
所以