Question

如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，
，，，点、、分别为、、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）连接，利用中位线得到，然后再利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）证法一是建立以点为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明；证法二：先证明，于是得到，于是得到，再证明平面，从而得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，从而得到；证法三是，得到，于是得到，再证明平面，从而得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，从而得到；（3）解法一是建立以点为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法求二面角的余弦值；解法二是过作交于点，过作交于，连接，先利用平面，于是说明为二面角的平面角，然后在直角，然后在直角中求的值.
（1）证明：连接，是的中点 ，过点，
为的中点，，
又面，面，平面；
（2）证法一：在直角中，，，，
棱柱的侧棱与底面垂直，且，以点为原点，以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则

，，，，，
，，
，；
证法二：连接，在直角中，，，，

，，
，，
即，
，，且，
平面，，又，故平面，
平面，；
证法三：连接，在直角中，，，，
设，，，
，即，
，，且，平面,
，又，故平面，
平面，；
（3）解法一：棱柱的侧棱与底面垂直，且，
以点为原点，以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，

依题意得，，，，，，，
设面的一个法向量为，
由，得，令，得，
同理可得面的一个法向量为，
故二面角的平面角的余弦值为，
解法二：过作交于点，过作交于，连接，

平面底面，平面，
，平面，，
故为二面角的平面角，
在中，，，
，，
又，故，.