Question

（2012•珠海二模）在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于A，B两点，已知A点的纵坐标为

10

10

，B点的纵坐标为

2

10

．
（1）求tanα和tanβ的值；
（2）求2α+β的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的定义求出sinα和sinβ，然后根据同角三角函数的基本关系求出cosα和cosβ，进而可以求出tanα和tanβ的值；
（2）由两角和与差正切公式求出tan（α+β）和tan（2α+β）的值，然后由正切的特点得出0＜α＜

π

4

和0＜β＜

π

4

，进而根据特殊角的三角函数值得出答案．

解答：解：（1）由条件得 sinα=

1

10

，sinβ=

1

5 2

…（2分）
因为α，β为锐角，故 cosα＞0且cosα=

3

10

，同理可得cosβ=

7

5 2

…（4分）
因此tanα=

1

3

，tanβ=

1

7

．                 …（6分）
（2）∵tanα=

1

3

，tanβ=

1

7

∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 3 + 1 7

1- 1 3 × 1 7

=

1

2

…（7分）
tan（2α+β）=tan[α+（α+β）]=

tanα+tan(α+β)

1-tanα•tan(α+β)

=

1 3 + 1 2

1- 1 3 × 1 2

=1  …（8分）
∵0＜α＜

π

2

，y=tanx在(0，

π

2

)上单调递增，
且tanα＜1=tan

π

4

，∴0＜α＜

π

4

，…（10分）
同理，0＜β＜

π

4

∴0＜2α+β＜

3π

4

…（11分）
从而2α+β=

π

4

…（12分）

点评：本题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．