Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，所有项a_n＞0，且，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）已知b_n=2ⁿ，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先看n=1时根据a₁=s₁求得a₁，进而根据a_n=s_n-s_n-1求得数列的递推式整理得a_n-a_n-1=2判断出数列{a_n}是以3为首项，2为公差之等差数列，则通项公式可得．
（Ⅱ）利用错位相减法求得数列的前n项的和．
解答：解：（Ⅰ）n=1时，，解出a₁=3
又4s_n=a_n²+2a_n-1-3①
4s_n-1=a_n-1²+2a_n-3（n≥2）②
①-②4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）
∴数列{a_n}是以3为首项，2为公差之等差数列
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
（Ⅱ）T_n=3×2¹+5×2²++（2n+1）•2ⁿ+0③
又2T_n=0+3×2²++（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹④
④-③T_n=-3×2¹-2（2²+2³++2ⁿ）+（2n+1）2ⁿ⁺¹=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2
点评：本题主要考查了数列的求和问题．错位相减法是数列求和常用的方法，当数列是由等比数列和等差数列的积构成的，都可以用错位相减法进行求和．