Question

过抛物线＝2px的焦点F做倾斜角为θ的直线交抛物线于A、B两点，设△AOB的面积为S(O为原点)。

    (1)用θ，p表示S；

    (2)求S的最小值；若最小值为4时，求此时的抛物线方程。

 

Answer 1

答案：
解析：

求△AOB面积的方法，有两种途径，一是求顶点到AB的距离OH，(如图所示)，利用S＝|AB|·|OH|お；一是将图形进行分割，利用S＝S△AOF＋S△BOF，把OF看作两三角形的公共底边。 解法一  设A(x1，y1)，B(x=，y2)。     若θ＝90。时，AB⊥x轴，从抛物线定义知，|AB|＝2p，这时|OH|＝|OF|＝。お     若θ≠90°时，设直线AB方程为y＝ (x－).     则|OH|＝，(∵0°＜θ＜180°)     从     　　　　   ①     ∵y1，y2是方程①的两根     ∴。     从弦长公式，得     |AB| 　　    　　    　　    =お     ∴S　　    ②     当θ＝90°时，从式②得S。     ∴，那么问题(1)解决。     对于(2)，∵0°＜θ＜180°，     ∴，当且仅当θ＝90°时，等号成产，即，表明焦点弦AB变成通径时，ΔAOB面积最小。 令=4，得，根据对称性，所求抛物线是或。 解法二   从S 其余同解法一就可得到结论。