Question

15．用一个与圆柱母线成60⁰角的平面截圆柱，截口为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由题意可知，椭圆的短轴长等于圆柱的底面直径，由题意结合三角形中的边角关系求得椭圆的长轴长，再由隐含条件求出半焦距，求解可求．

解答 解：如图，设圆柱的底面直径为2R，
则椭圆的短轴长2b=2R，b=R．
又截面与圆柱的母线成60°角，
则2a=$\frac{2R}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$R，
则a=$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$．
∴c²=a²-b²=$\frac{4}{3}$R²-R²=$\frac{{R}^{2}}{3}$，
∴c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．
则椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}R}{3}}{\frac{2\sqrt{3}R}{3}}$=$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查平面与圆柱的截线，考查椭圆的性质，考查三角形中的边角关系，是基础题．